Das Volumen des liegenden, z.T. gefüllten zylindrischen Fasses V ist



V=G L = L (r² arccos(1-h/r) - Wurzel(2 r h - h²)(r-h))



(G= Fläche Kreissegmentes, L= Länge des Fasses, r=Radius des Fasses, h=Füllhöhe).



Mit den gegebenen Werten (Maße in dm und dm³=Liter)



V=300=10(64 arccos(1-h/8) - (8-h) Wurzel(16 h -h^2))



Diese Gleichung ist leider nicht geschlossen lösbar. Eine Lösungsmethode ist Intervallschachtelung

Man setzt für h 2 Werte an, von denen einer ein zu großes Volumen liefert, einer ein zu kleines Volumen (z.B h=0 und h=2 r). und herhält dann Lösung:

h=[0,2 r]; V=[0, 2010]



{Zur schreibweise. h liegt zwischen 0 und 2 r, das Volumen zwischen 0 und 2010}



Als nächstes bestimmt man die Mitte des Inatervalls, also

(0+2 r)/2=r =8und berechte erneut das Volumen = 1005

1005 ist größer als 300 also tauschen wir die oberen Grenzen aus

h=[0,8]; V=[0,1005]



Nächster Mittelwert (0+8)/2=4 V=393



h=[0,4]; V=[0,393]



Nächster Mittelwert (0+4)/2=2 V=145



Jetzt ist 145<300 und wir tauschen die unteren Grenzen aus



h=[2,4]; V=[145,393]



Nächster Mittelwert (2+4)/2=3 V=261



h=[3,4]; V=[261,393]



nach vielen weiteren Schritten kommt man zu der Näherungslösung



h=3.30662 dm V=300,001 Liter



@omania. Es mag zwar "ichts easier als das!" sein, aber bei ein liegender Zylinder fasst unten am Boden und oben an der Decke pro Höheneinheit weniger Wasser als in der Mitte. Eine dünne Scheibe der sehr kleinen Höhe dh hat das Volumen Vh=s*L dh (s=Länge der Sehne). Also hat ein Volumenelement am Boden das Volumen 0, in der Fassmitte das Volumen 2 r L und dazwischen eine kleineren Wert. Daher darf die Prozentrechnung nicht angewendet werden.

Für diejenigen die bereits Integrale lösen können. Das Volumen kann auch durch ein Integral beschrieben werden:

V= Integral[L *s dh]=Integral[L 2 Wurzel(r²-(r-h)²) dh]

Dabei ist von 0 bis zur Füllstandshöhe zu integrieren und man erhält ebenfalls meine obige Lösung

Hab mir die Antworten nicht so genau durchgelesen, da sie doch sehr lange sind. Aber rein vom Gefühl her müssten sie falsch sein wenn nicht integriert wird.

Also:

die Frage ist eigentlich, wenn man das Fass von vorne also auf den Kreis betrachtet, was die höhe ist wenn die Fläche von 3000cm² gefüllt ist.

(Volumen V=300l=3000000cm^3

Fläche=Volumen / Länge.. A=V / L

A=300000cm^3 / 100cm = 3000 cm²)



Um dies mathematisch zu berechnen muss man Integrieren und zwar wenn man das Fass um 90° gegen den Uhrzeigersinn dreht von der gesuchten Höhe X bis zum Radius R.

Die Formel für einen Kreis lautet: x² + y² = r²

In diesem Fall: x² + y² = (80cm)²

Also y = ± √(80² -x²)

Um es zu vereinfachen betrachtet man nur den positiven Wert. Damit halbiert sich die Fläche zu A=3000cm² /2=1500cm²



Nun zum Integral: (Es wird von dem gesuchten Wert x bis zum Radius r=80 integriert.. Ich kann das hier leider nicht so eintippen)

∫ √(80² -x²) = 1500



Das Ergebnis ist:

x √(80² -x²) - 80² arcsin (x/80) = 80² π/2 - 6000



Das kann ich leider nicht weiter lösen =(

Die Frage wäre viel einfacher auszurechnen wenn du den Füllstand wüßtest und nach dem Volumen gefragt hättest. Vielleicht findet sich ja noch wer der mit arcsin besser bewandt ist als ich ;)

Der Ansatz ist aber der richtige denk ich.

ichts easier als das!

Gesucht ist das Gesamtvolumen des Fasses:

V = G · h = pi · r² · h

Volumen = Grundfläche x Höhe

Grundfläche = pi * r²



Um nicht in allzu großen Zahlen zu schwelgen und gleich das Ergebnis in Litern angezeigt zu bekommen, solltest du die Maße des Fasses in dm umrechnen: H= 100cm = 10 dm; r= 80 cm= 8dm.

Dann ist das

V= 3,14159265 * 8*8*10= 2010,619296 Liter.

Nun kannst du sagen:

2010,619296 l = 100%

300 l = ?%

rechne: 100/2010,619296*300= 14,92077593%



Also ist das liegende Faß mit 300 l zu 14,920% gefüllt; die maximale Füllhöhe wäre 2*r= 160cm;

14,920% davon sind 160/100*14,920= 23,872 cm



Bei 300 Litern hat das (liegende) Faß eine Füllhöhe von 23,872 cm

Stehend hat das Fass eine Füllhöhe von 100/100*14,920= 14,92 cm



@KN: eben, jedes Volumenelement mit 0 hat 0 Inhalt..... :-)

mal schaun kp ob richtig wird:



V=(pie)r² mal h

V=(pie)(80cm)² mal 100cm

V=2010619,298 cm³

V=2010,619298 dm³ ->

(2010,62 liter)



100cm=2010,62 liter (entspricht)

X =300 liter



100 cm mal 300 liter geteilt durch 2010,62 liter

ergebnis rund 15 cm.



das fass ist mit 300 litern 15 cm gefüllt, kann aber auch falsch sein